解析如何正确认识大CDR装备的兑换关系

在上一个帖子分析秘宝CDR兑换问题中，我看到有评论询问关于混沌净化的CDR兑换比的问题，并认为大概没有这么低。首先我会回复，这种认知观点是非常正确的。混沌净化的CDR价值确实非常高。但是我也会说我关于兑换比的计算并没有错。因为混沌净化(堕落)的技攻是301.1%，如果对标的是潜影，是453%的技攻。他们的差距是5.53/4.011-1=37.87%的伤害，相应的，混沌相当于舍弃37.87%的伤害换了55%CD，兑换比是55/37.87=1.45。和常规的比如12.3对20的1.6差距很大。看似是一种比较低的兑换比。

在这个问题中，其实1.45并没有算错，看着很低也没有算错，混沌CDR实际上挺厉害这件事，其实也没有错。那么问题在哪里呢?答案其实是在我们一直认知的“CDR兑换比”这个概念。

如果把我们日常理解CDR收益问题的不便，理解成一个近视患者看不清周围的物体，那么“CDR兑换比”其实就是一副眼镜。问题在于这幅眼镜它不太合适，所以让我们看到的CDR收益更为歪曲了。当然，本文也会介绍一下什么才是一副比较合适的眼镜，如此可以更好地洞悉CDR收益论的本质。

CDR兑换比的引入

为什么我们日常中经常会用到CDR和技攻兑换比呢?其实是因为，游戏中的CDR装备种类相对而言是比较多的，数值设置的又不一。对于伤害最大化的角度来说，自然是希望尽可能地少牺牲伤害，而尽可能多地获取CDR。

从这个逻辑出发，考虑它们的比值，自然也会推导出一些结论，比如比值是越大肯定是越好的。因为比值大通常说明使用了相同的技攻下，获得了相对而言更多的CDR。而公式的出发点，用弓箭手的传世武器就非常容易理解。在同样324.7技攻的底子上，你究竟是选择12.3%的技攻呢，还是选择20%的CDR呢?这个所谓的12.3%和20%CDR是策划设置的，因此也会带来一个所谓的“版本比例”的说法。一般来说比例的计算就是采用20%/12.3%=1.626得到一个结论。

与之类似的也有贝亚娜戒指和创造戒指的竞争，关系是20CD和12.34%(红12)/11.23%(红11)/10.14%(红10)的技攻竞争。很明显从结果论来说，创造戒指对于红12以下的情况来说是收益相对弓箭手武器是更好的，因为损失的技攻并不足12.3%。如果同样要20CDR的条件下，作为一个增幅不足12的弓箭手职业，他会选择传世武器开12.3技攻+创造戒指，而非传世武器开20CDR+贝亚娜这个方案。

CDR兑换比的异化

上一章可以理解为CDR兑换比这个认识CDR收益的眼镜的工作原理，它是怎么计算的，又是从哪里来的。这一章要说明的事就是，这幅眼镜为什么并不是在任何时候都是非常靠谱的。在以前我发过不少CDR的帖子，CDR设置上限这篇帖子也提到了无CDR是一种多么可怕的现象，举了一个例子是99%技攻换99%CDR，根据公式而言其实就是CDR兑换比仅仅只有1，但是从宏观看，本质是让你的技能伤害减半，但是频率增加了100倍。他会导致什么结果。

类似的无CDR问题，可以猜猜下面这个是个什么职业，这套配装在国服活了多久，主保的技能跟主流的大技能比，基础伤害有没有到一半。答案也就显而易见了。

因此，CDR兑换比低，是不能等同于CDR收益低的。他们绝对不是充要条件。只不过是CDR收益低的情形，往往会推出一个看上去不怎么高的CDR兑换比。所以逻辑上讲，只是个充分条件而已。

那么这种异化的来源是什么呢?其实问题在于CDR的计算公式和技攻的计算公式是完全不同的。从下面的公式不难发现一点，兑换比k是y/x，而y(CDR)的计算公式中，随着第二项CDR，第三项CDR的引入，它最终的表现值y必定小于拼凑成他的各项分项之和。也就是说，拼凑的CDR越多，y的增长是越慢的。而技攻x则不同，他最终表现值x必定大于拼凑成他的各项分项之和。拼凑的CDR越多，x的增长是越快的。

那么当然的结果就是，随着身上的CDR分项越来越多，这个兑换比k显然会往越来越低的方向走。

但是别忘了一个最根本的事情，就是任何一个大CDR和大技攻的兑换，本质都可以理解成一大堆小的CDR和小技攻兑换拼凑在一起的结果。

可以观察以下表格，理解起来并不复杂。就是如果有一个2%技攻兑换成4%CDR的分项，他们凑成的组合，未来会变成什么样子。这里的12.62%技攻换21.72%，本质上是6个2%技攻和4%CDR分项的结果。技攻方面是1.02^6-1=12.62%，CDR方面则是1-0.96^6=21.72%。但是正常来说，这个拼了6次的2%技攻对4%CDR，他的价值其实不应该被异化的这么厉害。单纯只是对这个结果做比例来判断他们的价值，其实是不合适的。

一副更好的眼镜

对于上述的异化问题，其实我们不妨这里引入下面的公式，用t来表达，作为一个新的“兑换比”概念。相当于换了一副眼镜，让我们可以更好地看清楚CDR兑换比的问题。

这个公式其实是推导出来的，过程会放在后续，对此有兴趣的读者可以去了解一下。这里我们先观察一下这个公式对多个2%技攻兑换4%CD的结果变化。如下表所示。每一个兑换关系都是整齐的2.06。

这是因为-ln(1-4%)/ln(1+2%)=-ln(1-7.84%)/ln(1+4.04%)=......=-ln(1-21.72%)/ln(1+12.62%)=2.06144

也就是说，在这个新的兑换公式算法下，其实不管同样的CDR比例叠了多少次，最后显示的结果都是一样的。至于为什么是2.06，略大于4/2也很容易理解。因为2%技攻对4%CDR，完全也可以认为是一个更小的技攻和CDR对偶关系拼凑而成的。这个兑换比必然是大于2的。实际上这个t就是兑换比k在不断往小进行缩放下的极限值。

对此我们也可以把之前秘宝帖子里的几个CDR关系，右边增加一列，观察。作为一个参考组，增加了3个接近0CDR方案的对比。首先第一个结论就是混沌净化在新的兑换比公式视角下，收益是大幅提升了的。而且很显著地比弓箭手武器的兑换关系更加强。这也是我在文章开头提到的，混沌净化其实确实很强这个事没错的原因。从这个视角下才能看的出来，把原有的兑换比公式产生的认知异化去除。

至于0CDR组的3个对比关系也可以很明显发现，在原有的兑换比体系下看似为1，原认知是比较差的情况，在新的公式体系下很明显能认知到它的收益的恐怖性，而且不难理解随着这个99.99……%的纯度增加，兑换比会逐渐趋于∞，这才是更接近真实的0CDR收益情况的描述。

什么时候用CDR兑换比比较合适呢

通过上面章节的论述，可以论证一点是，采用ln的公式去描述“兑换比”的概念，会比目前传统意义上的CDR兑换比更加具有普适性，也能说明更多的问题，比如0CDR兑换比下的收益比其实是趋于爆炸的。这一点传统的y/x公式是体现不出来的。原因也有所解释，本质上是分子成长速度慢，而分母成长很快，所以在大额兑换比关系下导致k天然会下滑，而产生失真。

理解了原因，自然也不难理解什么时候直接用兑换比更准确。那就是在比较小额的CDR技攻兑换关系上，误差会小很多，通过二项展开，误差项会在小额的环境下可以忽略不计。

比如认知2%和4%的CDR认为比例是2，其实他们的兑换关系缩小到极限也只有2.06，可以认为比较准确。

结论

CDR的兑换比本身的应用是有局限性的，必须在比较小额的CDR和技攻兑换关系下才能有较低的偏差。取而代之地，更好的判断CDR收益关系其实是按照下面的算法进行合适。

当然，一直在用的CD直接除以技攻确实便于口算，有利于传播。更精确的公式相对来说理解更需门槛。只能说各有好坏。不过需要注意了解的就是，在平时惯习于这种简单的计算方式下，不要忘记它的前提条件是小额CDR的对比，不应把这个结论直接套到大额的CDR兑换问题上，从而就会产生低估大额CDR收益的感觉。

公式的推导

首先建立一个x%，认为是取得的额外技攻。它和y%的CDR形成了竞争关系。

基本依据是，任何一组x%技攻和y%CDR的竞争，都可以拆分成更小的两组。从微积分思想的角度考虑，他们可以认为是由n对极小量ε%技攻和tε%的CDR构成，n→+∞。

那么有：

t其实就是一个参量，可以认为这组x%技攻对y%CDR的兑换，是由一组兑换率为t的极小兑换组，叠加一个极大的n次构成的结果。那么t就是这个评价的标准了。所以问题就变成n→+∞下，t和x，y的关系。

对上述式子变换可以得到

这个式子的极限用一次洛必达法则就可以得到是

所以，就得到了t和所验证的x，y之间的转换公式，这个t的本质就是x，y的兑换关系中，进行无限次分割成小CD，最后得到的兑换比的极限。